축구에서 승리하면 왜 3점일까?
축구의 승리 3점제는 골을 넣을 때마다 점수를 더 주는 규칙이 아니다. 승리·무승부·패배에 붙는 보상을 바꾼 제도다. 예전의 2점제에서는 1승 1패와 2무가 모두 승점 2점이었다. 3점제에서는 각각 3점과 2점이 된다. 한 번 이긴 성적을 두 번 비긴 성적보다 높게 평가하는 것이다.
그렇다면 승리를 더 보상하면 팀은 언제 공격을 선택하는 편이 유리할까? ‘무조건 공격하면 된다’는 답은 나오지 않는다. 같은 가상 경기의 승리·무승부·패배 확률을 고정해 계산하면, 보상만 바뀌어도 선택의 우열이 뒤집히는 범위와 여전히 뒤집히지 않는 범위가 드러난다.
1981년 리그 도입과 1994년 월드컵 적용
잉글랜드 풋볼리그(EFL)의 공식 연혁은 자신들이 1981년 승리 3점제를 세계 최초로 도입했다고 기록한다. 무승부 1점과 패배 0점은 그대로 두고 승리의 보상만 올린 변화였다. FIFA의 공식 회고는 잉글랜드의 1981년 도입과 1994년 미국 월드컵 적용을 설명하며, 더 공격적인 축구를 유도하려는 목적을 소개한다. EFL 연혁, FIFA의 1994년 월드컵 회고
EFL이 FIFA의 공식 채택 시점으로 적은 해는 1995년이다. 이것은 1994년 월드컵 첫 적용과 서술하는 범위가 다르다. 따라서 1981년 잉글랜드 리그 도입, 1994년 월드컵 적용, EFL이 기록한 1995년 FIFA 채택을 구분해야 한다. 이 세 연도를 모든 국가의 모든 대회가 한꺼번에 규칙을 바꾼 날짜처럼 읽을 수는 없다.
같은 경기에서 선택이 뒤집히는 예
경기 막판 동점인 팀이 신중한 전술과 공격적인 전술 중 하나를 고른다고 하자. 신중하게 운영할 때 최종 결과의 확률은 승리 20%, 무승부 70%, 패배 10%로 놓는다. 공격적으로 바꾸면 승리 35%, 무승부 30%, 패배 35%라고 가정한다. 둘 다 합계는 100%다. 실제 팀을 관찰한 수치가 아니라, 승점의 보상 효과만 분리하기 위한 계산용 가정이다.
기대 승점은 각 결과의 승점에 그 확률을 곱해 더한 값이다. 패배는 0점이므로 ‘승리 점수×승리 확률+무승부 확률’로 계산할 수 있다.
- 2점제에서 신중한 전술: 2×0.20+0.70=1.10점
- 2점제에서 공격적인 전술: 2×0.35+0.30=1.00점
- 3점제에서 신중한 전술: 3×0.20+0.70=1.30점
- 3점제에서 공격적인 전술: 3×0.35+0.30=1.35점
2점제에서는 신중한 쪽이 0.10점 앞서지만, 3점제에서는 공격적인 쪽이 0.05점 앞선다. 승패 확률을 바꾸지 않고 보상만 바꿨는데도 우열이 뒤집힌다. 다만 1.35점은 실제 한 경기에서 받는 점수가 아니다. 같은 확률 구조를 반복한다고 보았을 때의 평균 보상이며, 한 경기의 결과는 여전히 승리·무승부·패배 중 하나다.
선택이 뒤집히는 경계는 2w<d<3w
위 예를 다른 확률에도 적용하려면 무엇이 얼마나 변했는지 표시하면 된다. 공격 전환으로 늘어나는 승리 확률을 w, 줄어드는 무승부 확률을 d라고 하자. 두 값은 퍼센트의 상대 증가율이 아니라 확률의 차이다. 앞의 예에서는 승리 확률이 20%에서 35%로 15%포인트 늘었으므로 w=0.15, 무승부 확률은 70%에서 30%로 40%포인트 줄었으므로 d=0.40이다.
공격적인 전술에서 신중한 전술의 기대 승점을 빼면, 2점제에서는 2w−d, 3점제에서는 3w−d가 된다. 공격이 2점제에서는 불리하고 3점제에서는 유리하려면 앞의 값은 음수, 뒤의 값은 양수여야 한다. 그래서 w가 양수일 때 선택의 엄격한 역전 조건은 2w<d<3w다.
예시를 대입하면 0.30<0.40<0.45로 이 조건을 만족한다. 반면 d=2w라면 2점제에서 두 전술이 동률이고, d=3w라면 3점제에서 동률이다. 경계 위의 ‘동률에서 유리해짐’과 경계 안의 ‘불리함에서 유리함으로 역전’을 구분해야 한다.
무승부 확률이 줄어든 부분이 전부 승리로 가는 것도 아니다. 세 결과의 확률 합이 1이어야 하므로 패배 확률은 d−w만큼 변한다. 이 예에서는 0.40−0.15=0.25, 즉 25%포인트 늘어난다. 3점제는 위험을 없앤 것이 아니라 늘어난 승리 기회에 더 큰 값을 붙였다.
공격이 여전히 손해인 반례
신중한 전술의 20%·70%·10%는 그대로 두고, 공격 전술을 승리 30%, 무승부 30%, 패배 40%로 바꾸어 보자. 공격의 기대 승점은 2점제에서 0.90점, 3점제에서 1.20점이다. 신중한 전술의 1.10점과 1.30점보다 모두 낮다.
이번에는 w=0.10, d=0.40이므로 d가 3w=0.30보다 크다. 승리 가능성 증가에 붙는 보상만으로는 줄어든 무승부의 가치를 메우지 못한다. 공격의 승리 확률이 신중한 전술보다 높다는 사실만으로 공격을 골라서는 안 되는 이유다.
이 비교에서는 제도가 바뀌어도 각 전술의 확률이 같다고 가정했다. 실제로는 상대도 대응하며, 팀의 목표가 기대 승점 최대화가 아닐 수 있다. 마지막 경기에서 무승부만으로 목표 순위를 지키는 상황과 반드시 이겨야 하는 상황은 같은 계산에 같은 의미를 부여하지 않는다. 이 모형이 보여주는 것은 보상에 따른 선택 경계이지, 감독이 실제로 어떻게 행동했다는 관찰 결과가 아니다.
더 많은 승부와 더 많은 골은 다른 결과다
실제 결과를 다룬 길라가베르와 무네제로의 연구는 알바니아·브라질·잉글랜드·독일·폴란드·루마니아·스코틀랜드의 일곱 리그에서 제도 변경 전후의 평균 골 수와 승부가 난 경기의 비율을 분석했다. 2020년 《Journal of Applied Statistics》에 실린 이 연구는 변화가 일어난 시점을 모형 안에서 추정한다. 연구자 공개 논문
논문의 베이즈 모형에서는 일곱 리그 모두 평균 골 수의 변화점에 대한 지지를 얻지 못했다. 승부가 난 경기의 비율에서는 다수 리그에 변화의 근거가 나타났다. 다만 같은 논문의 Shiryaev–Roberts 검정은 브라질의 평균 골 수와 독일의 승부 결정 경기 비율에서 베이즈 모형과 다른 판정을 냈다. ‘논문의 모든 방법에서 득점 변화가 없었다’고 요약하면 이 예외를 지우게 된다.
변화의 통계적 근거를 찾지 못했다는 것과 효과가 정확히 0임을 입증했다는 것도 같지 않다. 이 결과를 읽을 때는 대상 리그와 기간, 검정 방법을 함께 보아야 한다. 앞의 가상 확률을 이 논문에서 측정한 값으로 오인해서도 안 된다.
3점제는 비기는 팀뿐 아니라 이기는 팀의 보상도 바꾼다. 동점에서 한 골을 넣어 승리하면 추가 보상이 1점에서 2점으로 커지지만, 앞서던 팀이 실점해 비기면 잃는 승점 역시 1점에서 2점으로 커진다. 따라서 동점인 팀이 승리를 노리는 유인과 앞선 팀이 리드를 지키려는 유인이 함께 존재할 수 있다. ‘승리의 가치가 커졌다’에서 곧바로 ‘모든 팀이 더 공격하고 골도 늘어난다’로 건너갈 수 없는 이유다.
승리 3점제의 핵심은 공격을 명령하는 데 있지 않다. 같은 위험과 기회에 붙는 보상을 바꾸는 데 있다. 확률 계산은 그 변화가 선택을 뒤집는 구간을 보여주고, 실제 경기 연구는 그 선택이 어떤 결과로 나타났는지 별도로 묻는다. 두 질문을 나누면 승점 3점이 바꾼 것과 숫자 하나만으로는 설명할 수 없는 것이 함께 보인다.
